КРУЧЕНИЕ
1. Чистый сдвиг. Закон Гука при чистом сдвиге.
Напряженное состояние, при котором на гранях прямоугольного элемента возникают только касательные напряжения
, называется чистым сдвигом. Экспериментально чистый сдвиг может быть осуществлен при кручении тонкостенной трубы (рис. 47). Рассмотрим элемент
, вырезанный из тонкостенной трубы. При возникновении касательных напряжений элемент перекашивается. Если считать грань
закрепленной, то грань
сдвинется в положение
. Все прямые углы между гранями изменятся на величину
, который называется углом сдвига. Касательные напряжения и угол сдвига связаны прямой пропорциональностью, т.е. законом Гука при сдвиге:
| |
где — модуль сдвига (модуль упругости второго рода);
для стали Мпа.
Между модулем упругости и
существует связь:
, которая подтверждается экспериментально.
Здесь — коэффициент Пуассона.
2. Напряжения и деформации при кручении бруса
круглого сечения.
Деформация кручения вызывается скручивающими моментами, плоскости действия которых перпендикулярны продольной оси (рис. 48). При кручении возникает один внутренний силовой фактор — крутящий момент
.
Характер распределения напряжений по сечению выясним, рассмотрев геометрическую картину деформации вала. Для этого на поверхности нанесем сетку, состоящую из линий, параллельных оси, и линий, представляющих собой параллельные круги.
После приложения скручивающего момента наблюдаем следующее: образующие цилиндра превращаются в линии одинакового наклона к оси стержня; параллельные круги не искривляются и расстояние между ними остается неизменным, радиусы, проведенные в торцевых сечениях, остаются прямыми (рис. 49). Таким образом, при построении теории напряженно-деформированного состояния вала при кручении пользуются следующими гипотезами:
1. Поперечные сечения вала остаются при деформации плоскими и перпендикулярными к оси вала. Они лишь поворачиваются одно относительно другого на некоторый угол закручивания, обозначаемый . (гипотеза плоских сечений).
2. Расстояния между поперечными сечениями остаются неизменными.
3. Радиусы, проведенные в поперечных сечениях, при деформации не искривляются.
Рассмотрим некоторый участок вала длиной
, выделенный из вала (рис. 50). Пусть угол поворота сечения
относительно неподвижного будет
, тогда угол поворота сечения
, расположенного на расстоянии
, будет
. Следовательно, угол закручивания участка вала длиной
равен
.
Рассмотрим деформацию прямоугольного элемента бесконечно малой толщины, выделенного у поверхности вала (рис. 51). Так как радиусы остаются прямыми, то отрезок
поворачиваясь в плоскости поперечного сечения на угол закручивания
, займет положение
. При этом образующая
переместится в новое положение
, составив с первоначальной угол
. Аналогично образующая
переместится в положение
. Так как длины этих отрезков практически неизменны, то деформация прямоугольного элемента
состоит в изменении первоначально прямых углов на величину угла
.
Таким образом, рассмотренный элемент находится в условиях чистого сдвига и, следовательно, на его гранях действуют касательные напряжения .
.
Учитывая, что , а
, угол сдвига:
.
Отношение называется относительным погонным углом закручивания
или
.
Если рассмотреть деформацию прямоугольного элемента, расположенного внутри вала на произвольной цилиндрической поверхности радиуса , то угол сдвига
.
Найдем зависимость между напряжениями и деформациями при кручении. С учетом закона Гука при чистом сдвиге
.
Из двух последних формул следует, что углы сдвига и касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону прямо пропорционально расстоянию от центра сечения до точек.
Очевидно, что максимальные касательные напряжения будут возникать у поверхности вала, то есть при
.
.
Выделим на расстоянии
от центра сечения элементарную площадку
(рис. 52). Крутящий момент
:
.
Отсюда погонный угол закручивания
.
Выражение — жесткость вала при кручении.
— полярный момент инерции.
— для круглого сечения;
— для трубчатого сечения.
Взаимный угол закручивания двух сечений, расположенных на расстоянии :
.
Если в пределах цилиндрического участка вала длиной крутящий момент
имеет постоянное значение, то
— закон Гука при кручении.
Так как , то
.
Максимальные касательные напряжения, действующие по контуру сечения:
где — полярный момент сопротивления
.
— для круглого сечения;
— для трубчатого сечения.
Из второй гипотезы следует, что нормальные напряжения при кручении равны нулю.
3. Расчет валов на прочность и жесткость при кручении.
Условие прочности при кручении:
,
где — допускаемое напряжение при кручении, величина постоянная для данного материала. Отсюда полярный момент сопротивления вала:
.
Помимо расчета на прочность валы расчитывают и на жесткость, ограничивая максимальный погонный угол закручивания некоторой допускаемой величиной . Условие жесткости:
.
Отсюда полярный момент инерции вала: .
4. Кручение стержней прямоугольного сечения.
В случае кручения стержня прямоугольного поперечного сечения эпюра распределения касательных напряжений имеет вид, показанный на рис. 53. Максимальные касательные напряжения возникают на поверхности сечения посредине длинных сторон прямоугольника, то есть в точках
и
.
,
где — момент сопротивления при кручении
;
— меньшая сторона прямоугольника.
На поверхности посредине коротких сторон, то есть в точках и
возникают напряжения, обозначаемые
.
Погонные и полные углы закручивания при кручении стержней прямоугольного сечения:
;
,
— момент инерции при кручении
,
— меньшая сторона.
Коэффициенты зависят от отношения сторон прямоугольника
(табл. 1).
Таблица 1.
| Условия прочности и жесткости при кручении прямоугольника: | ||||
| 1 1,5 2 3 | 0,208 0,231 0,246 0,267 | 0,141 0,196 0,229 0,263 | 1 0,859 0,795 0,753 | условие прочности: условие жесткости: |