Изгиб прямого бруса, примеры решения задач

ПЛОСКИЙ  ИЗГИБ

1. Нормальные  напряжения  при  плоском  изгибе.

Плоским  изгибом  называется  вид  деформации,  при  котором  все  нагрузки, перпендикулярные  к  оси  балки, лежат в одной плоскости, называемой силовой. Эта плоскость совпадает с одной из главных  плоскостей поперечного сечения.  В  этом случае в поперечных сечениях  возникает два внутренних силовых  фактора — поперечная сила  и  изгибающий момент .

Рассмотрим случай чистого  плоского изгиба (рис. 54).

В  этом  случае  поперечные  силы  , а  изгибающий момент     —   const. Рассмотрим картину деформаций  балки.  Если на поверхности нанести   прямоугольную сетку линий,  то  при чистом  изгибе  балка   деформируется  следующим  образом:  продольные   линии  искривляются  по  дуге  окружности,  контуры  поперечных  сечений  остаются плоскими, контуры поперечных сечений всюду  пересекаются  с  продольными  волокнами  под  прямым  углом (рис. 55).

Следовательно, при построении теории напряженно-деформированного состояния балки при чистом  изгибе пользуются следующими гипотезами:

1. Поперечное сечение балки, плоское и  нормальное к продольной оси до деформации остается плоским и нормальным к продольной оси в  процессе деформации  (гипотеза плоских сечений).

2. При деформации  продольные волокна не  давят друг на друга (не  взаимодействуют).

При замере расстояния  между точками контура каких-либо двух сечений обнаруживается,  что в процессе деформации эти расстояния изменяются. Верхние волокна  укорачиваются ,  а  нижние удлиняются . Можно найти и такие  волокна, длина которых при изгибе остается неизменной . Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется  нейтральным  слоем.  Линия  пересечения  нейтрального  слоя  с  плоскостью  сечения  называется  нейтральной  линией  (нейтральной  осью).

Рассмотрим произвольное сечение балки  (рис. 56). Выделим элементарную площадку  . В поперечных сечениях действуют только нормальные напряжения . Касательные напряжения  , т. к. . При приведении к центру тяжести сечения эти нормальные  напряжения  образуют изгибающий момент , лежащий в главной плоскости  . 

Поскольку продольных сил  в сечении нет, то

,                                        (1)

Так как изгибающий момент в горизонтальной главной плоскости   нет, то

,                                 (2)

.                             (3)

Найдем  зависимость  между  нормальными  напряжениями   и  изгибающим  моментом  .  Для  этого  двумя  поперечными  сечениями    и    выделим  элемент  балки  длиной   (рис. 57).

Рис. 57.

Согласно  гипотезе  плоских  сечений,  сечения    и    остаются  плоскими  и  поворачиваются на  угол  . Отрезок   нейтрального  слоя  превращается  в  дугу    с  радиусом  ,  а  волокно  , находящееся  на  расстоянии   от    нейтрального  слоя  —  в  криволинейное  волокно    с  радиусом  кривизны  .

Относительное  удлинение  этого  волокна:   .

Так  как  ,  а  ,        то          .

Рассмотрим  волокно   нейтрального  слоя.  Его  длина  до  деформации  ,  а  после  деформации  .  Волокна  нейтрального  слоя  не  изменяют  свою  длину  при  деформации,  поэтому    .

Тогда ,

т.е. относительная  продольная  деформация  пропорциональна  расстоянию  волокна  от  нейтральной  оси. 

Так  как  волокна  не  взаимодействуют  друг  с  другом  (согласно  второй  гипотезе),  то,  следовательно,  они  испытывают  осевое  растяжение  или  сжатие.  Тогда  для  волокон  применим  закон  Гука  при  растяжении-сжатии:  .  Приравняем  последние  выражения:        . 

Так  как по формуле (3) ,         то     .

 —  момент  инерции  сечения  относительно  оси  .

Тогда        —  закон  Гука  при  изгибе;    —  изгибная  жесткость.

Подставив  это  выражение  в  формулу  для  нормального  напряжения  ,  получим:

  .

Установим,  где  в  сечении  расположена  нейтральная  ось  .  Для  этого  подставим  последнее  выражение  в  формулы  (1)  и  (2).

    (1),                   ;

     (2),             .

Поскольку  ,  а —  статический  момент;

—  центробежный  момент  инерции,  то  ,   .

Из  этих  соотношений  можно  сделать  вывод,  что  нейтральная  ось    проходит  через  центр  тяжести,  а  оси    являются  главными  центральными  осями.   Таким  образом,  при  плоском  изгибе  силовая  плоскость  совпадает  с  одной  из  главных  центральных осей  сечения,  а  нейтральная  линия  совпадает  с  другой  главной  центральной  осью.

Выведенная  формула  для  нормальных  напряжений  показывает,  что  напряжения  в  точках  нейтральной  оси  равны  нулю  и  величина  их  линейно  возрастает  по  мере  удаления  от  нейтральной  оси.  Максимальные  напряжения    возникают  в  волокнах,  наиболее  удаленных  от  нейтральной  оси.  При  этом  напряжения  оказываются  постоянными  по  ширине  сечения.

Эпюра распределения напряжений в случае симметричного (относительно оси  ) сечения представлена на рис. 58.

,

где   —  момент  сопротивления  при  изгибе  .

Рис. 59.

Для     прямоугольного    сечения (рис. 59): , ,

Рис. 60.

Для  круглого  сечения (рис. 60): , ,

Для прокатных профилей моменты сопротивления  даны в сортаменте.

2. Напряженное  состояние  прямого  бруса    в  общем  случае

    плоского  поперечного  изгиба.

Рассмотрим  брус,  нагруженный  в  главной  плоскости   системой сил,  нормальных к  продольной  оси (рис. 61).

Изогнутая  продольная  ось  бруса  представляет  собой   плоскую кривую,   совпадающую  с силовой  плоскостью.  Такой  изгиб  бруса  называют  плоским  поперечным.  В  поперечных  сечениях  такого  бруса  действуют  два  внутренних  силовых  фактора  —  поперечная  сила    и  изгибающий  момент  .  Изгибающий  момент    свидетельствует  о  наличии  нормальных  напряжений    в  поперечных  сечениях.  При  выводе  формулы  нормальных  напряжений  используют  те  же  гипотезы,  что  и  в  теории  чистого  изгиба.  При  этом  формула  для  нормальных  напряжений  имеет  тот  же  вид:

 .

Поперечная  сила    в  сечении  свидетельствует  о  наличии  касательных  напряжений  .

Рис. 62.	Формула  для  касательных  напряжений  была  выведена русским инженером Журавским. При выводе этой формулы для форм сечения (рис. 62), близких к прямоугольной, им было предложено 2 гипотезы: 1. Касательные напряжения в любой точке  поперечного сечения имеют направление поперечной  силы . 2. Касательные  напряжения  постоянны  по  ширине  поперечного  сечения.
Рис. 63.	При  этом  получена  формула для  касательных напряжений,  которая  называется  формулой  Журавского:              , где   —  поперечная  сила  в  сечении;  —  момент  инерции  сечения  относительно  нейтральной  оси;  —  ширина  сечения  на  уровне,  где

определяют   (рис. 63);

 —  статический  момент  отсеченной   площади   относительно  нейтральной  оси    . Отсеченная  площадь  —  часть  площади  поперечного  сечения,  отсеченная  прямой  линией,  проведенной  через  рассматриваемую  точку  параллельно  нейтральной  оси.

Рис. 64.

Построим эпюру  распределения касательных  напряжений по высоте  прямоугольного сечения (рис. 64). В точке  действует   касательное  напряжение  . ,   ,

,

,               ,

.

Данная  формула  показывает,  что  касательные  напряжения  изменяются  по  высоте  сечения  по  квадратичному  закону.

При            ;

При                .

Анализируя  полученные  выражения  нормальных  и  касательных  напряжений  при  плоском  поперечном  изгибе      ,   для  форм  сечений,  близких  к  прямоугольной,  можно  сделать  вывод,  что    возникают  в  точках  сечения,  наиболее  удаленных  от  нейтральной  оси,  а    —  в  точках  нейтральной  оси.

Для  сравнения  величин     и     определим  их  в  консольной  балке  прямоугольного  поперечного  сечения (рис. 65).

Здесь  опасным  сечением  является  сечение  балки  в  заделке,  где

.

;  ;

Рис. 65.

;     .     .

Для  балок  с  отношением          ,  то  есть  касательные  напряжения  на  порядок  ниже  нормальных  напряжений.

3. Расчет  балок  на  прочность

Детали  машин  и  элементы  конструкций,  работающие  на  изгиб,  рассчитываются  на  прочность  по  допускаемым  напряжениям.  Условие  прочности  записывается  в  виде:

          или       ,

где   —  наибольшее  нормальное  напряжение,  возникающее  в  сечении,  где  действует  наибольший  изгибающий  момент    (в  опасном  сечении)  в  точках,  наиболее  удаленных  от  нейтральной  оси;

 —  момент  сопротивления  сечения  относительно  нейтральной  оси;

 —  допускаемое  нормальное  напряжение,  определяемое

—  для  пластичных  материалов  ,  где  —  предел  текучести  материала;   —  коэффициент  запаса  по  пределу  текучести;

—  для  хрупких  материалов  ,  где  —  предел  прочности  материала;   —  коэффициент  запаса  по  пределу  прочности.

Короткие  балки  при  расчете  на  прочность  рассчитываются  и  по  наибольшим  касательным  напряжениям.  При  этом условие  прочности  по  нормальным  напряжениям  дополняют  условием  прочности  по  касательным  напряжениям:

 .

Это условие  формулируется для сечений, где действует максимальная  поперечная сила  для точек, лежащих на нейтральной оси, где  —  допускаемое  касательное  напряжение; 

—  для  пластичных  материалов  ,

—  для  хрупких  материалов   ,

где ,  — предел текучести и предел прочности материала при чистом  сдвиге, которые определяются опытным путем при кручении  тонкостенной трубки.

4. Рациональные  формы  поперечных  сечений  балки

Нормальные  напряжения  при  плоском  поперечном  изгибе  в  поперечных  сечениях  распределяются  неравномерно.  Материал,  расположенный  у  нейтрального  слоя,  нагружен  очень  мало.  Поэтому  в  целях  его  экономии  и  снижения  веса  конструкций  следует  выбирать  такие  формы  сечения,  чтобы  большая  часть  материала  была  удалена  от  нейтральной  оси.  Таким  образом,  наиболее  рациональным  сечением  из  представленных  является  двутавровое,  а  наименее  рациональным  —  круглое (рис. 66).

Расположение прямоугольника и двутавра  при вертикальной силовой плоскости более выгодно как показано на  рис. 67,а, чем на рис. 67,б, так как наибольшая часть материла на рис. 67,а  наиболее удалена от нейтральной оси.