ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ
СЕЧЕНИЙ
При расчете конструкций на некоторые виды деформаций кроме площади поперечного сечения необходимо знать дополнительные геометрические характеристики: статические моменты площади относительно осей
,
—
,
; осевые моменты инерции
,
; центробежный момент инерции
и полярный момент инерции
.
1. Статические моменты площади. Центр тяжести.
Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение детали) в координатных осях ,
(рис. 7). Выделим элемент площади
с координатами
,
.
Площадь фигуры может быть определена
.
Выражения
;
называются статическими моментами площади фигуры относительно осей
,
.
Статические моменты измеряются в единицах длины в кубе (например, ).
Если известны координаты центра тяжести сечения ,
, то статические моменты определяются:
,
. Отсюда координаты центра тяжести сечения:
;
.
Оси, проходящие через центр тяжести сечения называются центральными осями. Статические моменты
относительно центральных осей равны нулю.
Для определения статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части, для каждой из которых известна площадь и положение центра тяжести
и
(рис. 8). Статический момент площади всей фигуры относительно данной оси определяется как сумма статических моментов каждой части:
;
.
Отсюда координаты центра тяжести сложной фигуры:
;
.
Пример1:
Определить координаты центра тяжести фигуры (рис. 9).
Разбиваем фигуру на два прямоугольника.
ед.;
ед.
2. Моменты инерции плоских фигур.
Осевыми моментами инерции площади фигуры называют выражения
;
.
Полярным моментом инерции площади фигуры относительно полюса называют
.
Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных осей
и
(рис. 10), то
(как гипотенуза треугольника).
Тогда
,
то есть полярный момент инерции относительно полюса равен сумме осевых моментов инерции относительно осей, проходящих через полюс.
Отметим, что величины осевых и полярных моментов инерции положительны.
Центробежным моментом инерции называют
. Единицы измерения осевых, полярных и центробежных моментов инерции —
.
Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями. Две взаимно перпендикулярные оси, одна из которых является осью симметрии фигуры, называются главными осями. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.
Вычислим моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей, параллельных его сторонам (рис. 11).
Выделим элементарную площадку в виде узкого прямоугольника, параллельного оси
. Площадь элемента
.
Аналогично, если выделить элементарную вертикальную полоску шириной , получим:
и
.
Вычислим полярный момент инерции круга относительно его центра, а также момент инерции относительно центральной оси.
При вычислении полярного момента инерции выделим элементарную полоску в виде тонкого кольца толщиной (рис. 12). Площадь такого элемента равна
.
Ввиду малости слагаемым пренебрегаем.
Полярный момент инерции
.
В силу симметрии фигуры . Используя свойство осевых и полярных моментов инерции
, получим: . Отсюда
.
3. Моменты инерции сложных сечений.
В расчетной практике часто приходится вычислять моменты инерции сложных сечений. Для прокатных профилей (рис. 13) геометрические характеристики сведены в таблицы, которые называются сортаментом прокатной стали.
Рис. 13.
Пусть требуется определить моменты инерции сложной фигуры относительно осей
,
(рис. 14). При вычислении моментов инерции сложных сечений их нужно разбить на простые части, моменты инерции которых известны.
Из основного свойства интеграла суммы следует, что момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей.
;
.
Если в сечении имеется отверстие (рис. 15), то его удобно считать фигурой с отрицательной площадью.
;
.
4. Моменты инерции относительно параллельных осей.
Пусть известны моменты инерции фигуры относительно осей
,
:
;
;
.
Требуется определить моменты инерции относительно осей , параллельных центральным,
;
;
.
Координаты любой точки в новой системе :
;
.
Подставим эти значения в формулы для моментов инерции и проинтегрируем почленно:
;
;
.
Интегралы и
как статические моменты относительно центральных осей и формулы преобразования моментов инерции относительно параллельных осей принимают вид:
Момент инерции фигуры относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между этими осями.
Центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых осях.
5. Зависимости моментов инерции при повороте
координатных осей.
Пусть известны моменты инерции произвольной фигуры (рис. 17) относительно осей
,
:
;
;
.
Повернем оси ,
на угол
против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным.
Найдем моменты инерции сечения относительно повернутых осей ,
:
;
;
.
Координаты произвольной элементарной площадки в новых осях:
;
.
Подставим эти выражения в формулы для моментов инерции и проинтегрируем почленно:
;
;
.
Итак,
Формулы, полученные при повороте любой системы прямоугольных осей, справедливы и для центральных осей.
Складывая почленно, получим:
.
При повороте прямоугольных осей сумма моментов инерции не меняется и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.
6. Определение направления главных осей.
Главные моменты инерции.
Наибольшее практическое значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю. Обозначим такие оси ,
. Следовательно,
.
Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось и другая, перпендикулярная к ней, проходящая через центр тяжести фигуры, являются главными центральными осями.
Чтобы определить положение главных центральных осей несимметричной фигуры, повернем произвольную начальную систему центральных осей ,
(рис. 18) на некоторый угол
, при котором центробежный момент инерции становится равным нулю.
.
Используя формулу преобразования центробежного момента инерции при повороте осей, получим:
.
Откуда
или .
Если , то поворот осуществляется против часовой стрелки.
Значения главных моментов инерции можно получить из общих формул перехода к повернутым осям, приняв :
;
.